Случайное событие – понятие настолько широкое, что даже его определение носит характер, на первый взгляд, слишком общий. Несмотря на это, данное определение полностью его описывает. Обычно, в качестве иллюстрации случайного события приводится бросание монеты – пример сделавшийся столь же популярным, как в свое время знаменитая марксовская булавка. Вместе с тем, под «разряд» случайного события может подпадать множество явлений, совсем не похожих на дилемму «орел-решка». Пример можно расширить такими иллюстрациями, как «подтверждение-неподтверждение исследовательской гипотезы», что тоже, до известной степени, случайность; «получение некоей студенческой группой средней экзаменационной оценки выше четырех баллов»; «возможность трудоустройства на данную должность одного из, скажем, десяти претендентов» и т.д. Иллюстраций для понятия случайного события, как мы видим, можно отыскать массу – и не только физических, таких, как монета или вынимание белого шара из урны, - но и социальных, и, если угодно, «чисто» психологических. То, что испытуемый, с которым мы еще не знакомы,, после того, как мы подвергнем его исследованию с помощью опросника Шмишека, будет иметь, положим, гипертимную акцентуацию – случайность. Это может произойти, а может и не произойти. Важно понимать, что очень многое можно рассматривать именно с этой точки зрения – как случайное событие. Следует только правильно определить и охарактеризовать его. Какими же характеристиками это случайное событие обладает?

2. Относительной частотой p* (частостью) случайного события A называется отношение числа m* появления данного события к общему числу n* проведенных одинаковых испытаний, в каждом из которых могло появиться или не появиться данное событие.

P*(A) = p* = m*/ n*

Из наблюдений следует, что если число испытаний в каждой серии невелико, то относительные частоты появления события А в каждой серии могут существенно отличаться между собой. Если же число опытов велико, то эти отличия малы, и тем меньше, чем больше испытаний в сериях. При устремлении числа испытаний к бесконечности относительная частота события стремится к некоему числу p

Lim P*(A)=p

В этом пункте следует уяснить разницу между понятиями «частота» и «относительная частота» или «частость». Разница эта состоит в том, что понятие «частота» применимо к таким событиям, которые либо 1) носят постоянный характер (полярность проводов в обычной электросети меняется пятьдесят раз в секунду – будь это измерено хоть в полдень, хоть глубокой ночью, хоть летом, хоть зимой), либо 2) при большом числе сходных опытов, либо, наконец, 3) при неограниченном возрастании числа измерений в рамках одного эксперимента. Проиллюстрировать второе утверждение можно так. Предположим, некий наблюдатель стоит на улице и через каждые пять минут отсчитывает по десять прошедших мимо него человек – ему угодно знать, больше ли на улице женщин или мужчин. Примером к третьему положению послужит такой же наблюдатель, но не делающий перерывов в своих подсчетах, а фиксирующий всех, кто бы ни прошел мимо него в течение, скажем, часа, дня и т.п.

Тогда «частостью» случайного события мы можем назвать результат подсчета первого наблюдателя за один раз: отношение числа встреченных мужчин к числу десять – ведь он за каждый раз фиксировал десять прохожих. Понятие «частость» относится к тем опытам, где число наблюдений конечно, невелико и трудно воспроизводимо или вовсе не воспроизводимо в каком-нибудь схожем эксперименте. Тот факт, что в какой-то гипотетической группе студентов-пcихологов число девушек много больше числа юношей, совсем не дает нам оснований делать выводы о том, что это закономерность. Мы не можем переносить такой вывод не только на студентов-физиков, но даже и на другую группу студентов-психологов.

1. Полученное число p называется вероятностью случайного события

P(A) = p

Вероятность – объективная характеристика возможности появления события А при данных условиях, определяющихся характером события А. При неограниченном увеличении числа опытов n* относительная частота события A сходится к вероятности p.

Действительно: чем больше проведено одинаковых опытов, или чем больше число испытаний в одном опыте, тем точнее будет определено значение относительной частоты появления события. В конечном счете, эта частота сойдется к вероятности появления события А,- то есть, к числу P.

2. Случайные события называются несовместными, если никакие из них не могут появиться одновременно в данном испытании.

Примером здесь может послужить та самая монета: как бы экспериментатор не старался, монета никогда не упадет одновременно и орлом и решкой, игральная кость не превратится в полете в плоскую развертку куба, чтобы позабавить нас видом всех ее граней одновременно.

3. Случайные события образуют полную группу событий, если при каждом испытании может появиться любое из них, и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.

Пример – игральная кость: она может показать нам на своей верхней грани любое число от единицы до шести, но при всем нашем старании, не выдаст цифры семь, потому что ее не содержит.

Отсюда еще одно определение вероятности: Вероятностью p события А называется отношение числа m, благоприятствующих случаю к числу всех возможных случаев n, образующих полную группу равновозможных несовместных событий.

4. Если какому-либо событию благоприятствуют все n случаев, образующих полную группу, то такое событие называется достоверным. Событие, которому не благоприятствует ни один из n случаев, образующих полную группу, называется невозможным.

Подброшенная монета обязательно упадет орлом или решкой вверх; игральная кость обязательно покажет одно из чисел от одного до шести; прохожий, идущий по улице мимо нашего наблюдателя непременно будет либо мужчиной, либо женщиной – шансы, что он окажется инопланетянином, вряд ли стоит принимать в расчет.

Вероятность любого события лежит в области от нуля до единицы:

0 £ p £ 1

Нуль здесь характеризовал бы невозможное событие, а единица – абсолютно гарантированное.

5. Суммой двух событий А₁ и А₂называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. А₁ + А₂

Пример. Имеется группа испытуемых обследуемых по методике СМИЛ (MMPI). Предположим, нас интересуют те из них, которые будут демонстрировать подъем выше семидесяти Т-баллов хотя бы по одной из шкал поведенческой (психотической) тетрады. Мы отбираем тех лиц, которые набрали выше 70 баллов по четвертой, шестой, восьмой или девятой шкале – нам достаточно повышения по любой из них. Появление такого испытуемого будем тогда называть благоприятным событием, а появление испытуемого, не отвечающего данному условию – неблагоприятным. (Кстати, на этом примере можно видеть некорректность в иных случаях термина «благоприятное событие» - но это термин, он устойчив и принят математиками.)

6. Теорема о сложении вероятностей.

Пусть при данном испытании могут иметь место случайное событие А₁с вероятностью Р (А₁) и событие А₂с вероятностью P (А₂). События А₁ и А₂несовместны. Тогда вероятность суммы событий, то есть того, что произойдет одно из них, вычисляется по формуле:

P (А₁ + А₂) = Р (А₁) + P (А₂)

Доказательство:

Пусть Р (А₁) = m₁/ n а P(А₂) = m₂/ n . Так как события А₁ и А₂ несовместны, то при общем числе случаев n число случаев, благоприятствующих появлению события А₁ и А₂одновременно равно 0, а число случаев, благоприятствующих появлению или одного или другого события, равно m₁+m₂. Следовательно:

P (А₁ + А₂) = m₁+m₂/ n = m₁/ n + m₂/ n = Р (А₁) + P (А₂)

Теорема справедлива для любого числа слагаемых.

7. Два события называются противоположными, если они несовместны и образуют полную группу.

Пример: орел противоположен решке, и в примере с монетой нет иных вариантов, кроме решки или орла.

Отсюда следует, что сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Это справедливо для полной группы из любого числа событий: Р (А₁) + P (А₂) +…+ P (А_n) =1.

8. Случайные события А и В называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба этих события, то есть произойдет совмещение событий А и В.

Примеры: 1) две монеты: при броске могут одновременно выпасть два орла (две решки); то обстоятельство, что первая монета падает случайным образом, никак не влияет на вторую монету, но нас могут интересовать, допустим, только такие случаи, когда монеты выпали одинаково – кстати, вероятность этого факта мы могли бы мысленно обозначить как Р(А), а вероятность выпадения разных рисунков тогда придется принять за Р' =1- Р(А)

9. Вероятность суммы совместных событий (АВ) вычисляется по формуле:

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB).

Чтобы понять смысл этого утверждения, нужно вспомнить следующее: что такое сумма событий? Сумма событий – те случаи, когда происходит событие А или событие В. Исключив теперь из всех возможных комбинаций те случаи, когда эти события могут состояться одновременно (их произведение), мы легко уясним, почему из уравнения надо вычесть компонент Р(АВ).

10. Событие А называется независимым от события В, если вероятность появления А не зависит от того, произошло событие В или не произошло.

11. Теорема умножения вероятностей. Если случайные события А и В независимы, то вероятность совмещения событий А и В равна произведению вероятностей появления А и В.

Легко понять, что для того, чтобы два события свершились одновременно, требуется гораздо больше попыток – ведь у каждого из них имеется своя вероятность возникновения.

Доказательство теоремы:

Предположим наличие двух урн, в каждой из которых соответственно находятся n1 и n2 шаров. В первой урне m1 белых шаров, остальные – черные. Во второй урне – m2 белых, остальные – черные. Из каждой урны вынимается по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?

Пусть событие А – вынимание белого шара из 1-й урны. Событие В – вынимание белого шара из 2-й урны. Эти события независимы. Очевидно:

Р (А) = m₁/ n₁ Р (В) = m₂/ n₂

Всего возможных случаев одновременного вынимания по одному шару из каждой урны будет n₁ n₂. Число случаев, благоприятствующих появлению белых шаров из обеих урн будет m₁ m₂. Вероятность совмещения событий А и В будет:

P(AB) = m₁ m₂/ n₁ n₂= (m₁/ n₁)_*(m₂/ n₂)

Аналогичным образом можно доказать справедливость теоремы для любого количества событий.

Http: www. khomich.narod.ru

E-mail: khomich @ mail.ru